Shall может быть:
1) вспомогательным глаголом для образования форм будущего времени 1-го лица единственного и множественного числа:
I shall have a meeting tomorrow.
Завтра у меня будет собрание.
We shall work till 9.
Мы будем работать до 9 часов.
2) модальным глаголом (см. модальные глаголы); придает оттенок обещания, приказания или распоряжения для всех лиц, кроме первого лица единственного и множественного числа:
They shall be sent to Saint Petersburg.
Их пошлют в Санкт-Петербург.
You shall begin your translation at once.
Вы сейчас же начнете (должны начать) перевод.
Should может быть:
1) вспомогательным глаголом:
а) для образования формы Future-in-the-Past для 1-го лица единственного и множественного числа:
Не thought I should come at 5.
Он думал, что я приду в 5 часов.
I said we should go to the library.
Я сказал, что мы пойдем в библиотеку.
б) в условных предложениях сослагательного наклонения для 1-го лица единственного и множественного числа:
I should go to the Crimea in summer if I got my leave.
Я поехал бы в Крым летом, если бы получил отпуск.
We should have arrived here in time if we had not met our friend.
Мы бы приехали сюда вовремя, если бы не встретили своего приятеля.
2) модальным глаголом; выражает долженствование (моральный долг, совет) для всех лиц единственного и множественного числа:
You should know all these words.
Вам следует знать эти слова.